Talk:Aufgaben:Problem 1

Ich verstehe diesen Schritt nicht ganz (Warum kommt das k da aus dem Integral raus?):

\( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}-i\frac{k^2}{2}\hat g(k)e^{ikx-i\frac{k^2}{2}t}dk = -\frac{ik^2}{4\pi}\int_{\mathbb{R}}\hat g(k)e^{ikx-i\frac{k^2}{2}t}dk \)

Grundsätzlich scheinen mir da einige Schritte noch nicht ganz sauber. Da fehlen einige limes und bei den Differenzenquotienten einige divisionen durch n. Zudem verstehe ich so nicht ganz warum man jetzt unter dem Integral differenzieren darf. Folgt dies jetzt mit dominierender Konvergenz, oder wie? Die Differenzenquotienten verschwinden dann auch auf einmal. Aber vieleicht verstehe ich es einfach nicht ganz richtig.

"Benjamin Kuhn (talk) 11:15, 2 January 2015 (CET)"

Meiner Meinung nach müsste der Beweis etwa wo aussehen:

$$ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathbb{R}}\hat g(k)e^{ikx-i\frac{k^2}{2}t}dk \\ = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{h}\hat g(k)e^{ikx}e^{-i\frac{k^2}{2}t}(e^{-i\frac{k^2}{2}h}-1)dk $$

und jetzt unter dem integral abschätzen, damit man dominierende konvergenz anwenden kann

$$ \lvert \frac{1}{h}\hat g(k)e^{ikx}e^{-i\frac{k^2}{2}t}(e^{-i\frac{k^2}{2}h}-1) \rvert \\ \le \lvert \frac{1}{h}\hat g(k) 2i \sin(\frac{k^2}{4}h) \rvert \\ \le \lvert \frac{1}{h}\hat g(k) 2 \frac{k^2}{4}h \rvert \\ \le \lvert \hat g(k) \frac{k^2}{2} \rvert $$ and \( \hat g(k) \frac{k^2}{2} \in L^1 \)

Damit haben wir die Bedinungen für dominierende Konvergenz erfüllt und können den Limes vom Differenzenquotienten unter das Integral ziehen, womit man unter dem Integral die Ableitung erhält.