Difference between revisions of "Aufgaben:Problem 9"

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Ihr seid ja immer noch am basteln mit dem differenzieren unter dem integral oder?
 
Ihr seid ja immer noch am basteln mit dem differenzieren unter dem integral oder?
Ich hab [http://math.stackexchange.com/q/298458 hier] folgendes gefunden:
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Ich hab [http://math.stackexchange.com/q/298458 hier] folgendes gefunden (weil ich recht wenig mmp gemacht habe dieses semester, bin ich nicht sicher, ob das das gleiche ist, was wir hatten):
  
  

Revision as of 16:53, 30 December 2014

Ihr seid ja immer noch am basteln mit dem differenzieren unter dem integral oder? Ich hab hier folgendes gefunden (weil ich recht wenig mmp gemacht habe dieses semester, bin ich nicht sicher, ob das das gleiche ist, was wir hatten):


I am trying to take the derivative with respect to \(a\) of some function \(I(a)=\int_{0}^{\infty}f(a,x)dx\). I would like to make sure that I am using the Leiniz Integral Rule correctly. Various web sources indicate a set of conditions that must hold for \(f(x,a)\) and \(\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\) when integration is done over infinite region. From reading this source (see Theorem 10.3 on page 13) the conditions that \(f(x,a)\) and \(\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\) must obey are:

1. \(f(x,a)\) and \(\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\) are continuous over \(x\in[0,\infty)\) and around \(a\) that we are interested in.

2. There exists an integrable function (over \(x\)) \(g(x)\) such that \(|\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}|\leq g(x)\).

3. There exists an integrable function (over \(x\)) \(h(x)\) such that \(|f(x,a)|\leq h(x)\).

Integrable here means \(\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx<\infty\).


Mit \(f(t,x)=\cos(xt) / (1+x^2) \) sind die Bedingungen doch gegeben, oder?

1: trivial


3: \(|\cos(xt)| \leq 1 \; \Rightarrow |f(x,t)| \leq 1/(1+x^2)\) und das ist ja integrierbar
\(\; \int_0^\infty 1/(1+x^2)\: dx = \frac{\pi}{2}\)


2: \(\frac{\partial f(x,t)}{\partial t} = - t\sin(xt) / (1+x^2) - 2x\cos(xt) / (1+x^2)^2\)
\( \begin{align}\left|\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\right| &\leq |t\sin(xt) / (1+x^2)| + |2x\cos(xt) / (1+x^2)^2| \\ &\leq |t / (1+x^2)| + |2x / (1+x^2)^2| \end{align}\)
und die terme sind beide wieder integrierbar

Nik (talk) 17:45, 30 December 2014 (CET)