Difference between revisions of "Aufgaben:Problem 9"
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Revision as of 17:26, 30 December 2014
Ihr seid ja immer noch am basteln mit dem differenzieren unter dem integral oder? Ich hab hier folgendes gefunden (weil ich recht wenig mmp gemacht habe dieses semester, bin ich nicht sicher, ob das das gleiche ist, was wir hatten):
I am trying to take the derivative with respect to \(a\) of some function \(I(a)=\int_{0}^{\infty}f(a,x)dx\). I would like to make sure that I am using the Leiniz Integral Rule correctly. Various web sources indicate a set of conditions that must hold for \(f(x,a)\) and \(\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\) when integration is done over infinite region. From reading this source (see Theorem 10.3 on page 13) the conditions that \(f(x,a)\) and \(\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\) must obey are:
1. \(f(x,a)\) and \(\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\) are continuous over \(x\in[0,\infty)\) and around \(a\) that we are interested in.
2. There exists an integrable function (over \(x\)) \(g(x)\) such that \(|\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}|\leq g(x)\).
3. There exists an integrable function (over \(x\)) \(h(x)\) such that \(|f(x,a)|\leq h(x)\).
Integrable here means \(\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx<\infty\).
Mit \(f(t,x)=\cos(xt) / (1+x^2) \) sind die Bedingungen doch gegeben, oder?
1: trivial
3: \(|\cos(xt)| \leq 1 \; \Rightarrow |f(x,t)| \leq 1/(1+x^2)\) und das ist ja integrierbar
\(\; \int_0^\infty 1/(1+x^2)\: dx = \frac{\pi}{2}\)
2: \(\frac{\partial f(x,t)}{\partial t} = - t\sin(xt) / (1+x^2) - 2x\cos(xt) / (1+x^2)^2\)
\( \begin{align}\left|\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\right| &\leq |t\sin(xt) / (1+x^2)| + |2x\cos(xt) / (1+x^2)^2| \\ &\leq |t / (1+x^2)| + |2x / (1+x^2)^2| \end{align}\)
und die terme sind beide wieder integrierbar
Nik (talk) 17:45, 30 December 2014 (CET)
Ne, das stimmt so nicht. Wenn du meine Herleitung anschaust, denn verwende ich den Mittelwertsatz und das bedeutet, dass cos(xt) noch einmal nach t abgleitet wird. Damit wäre die dominierende Funktion dann x/(1+x^2), welche auf (0,unendlich) nicht integrierbar ist. Ich habe die Aufgabe in einem Forum gepostet und darüber bin ich auf den Lösungsweg gekommen. Siehe Link:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=202739
Ich meinte der Lösungsweg über das partiell Integrieren hält sich vom Aufwand her in Grenzen. Beim zweiten Lösungsweg bin ich mir sehr unsicher. Daher bevorzuge ich die aktuelle Lösung.
