Aufgaben:Problem 11
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Problem a)
$$f(t)=e^{-|t|} \in L^1(\mathbb{R})$$
Compute the Fourier transform of \(f(t)\)
Solution
$$ \begin{align} \hat f(x) \ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm e^{-|t|}e^{-ixt}\,\mathrm dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} \mathrm e^{t(1-ix)}\,\mathrm dt + \int_{0}^{\infty} \mathrm e^{-t(1+ix)}\,\mathrm dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \frac{1}{1-ix}e^{t(1-ix)} \bigg \vert_{t=-\infty}^{t=0} - \frac{1}{1+ix} e^{-t(1+ix)} \bigg \vert_{t=0}^{t=\infty} \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \frac{2}{1+x^2} \right] \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1+x^2} \end{align} $$
Problem b)
Using the result from a), compute $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \,\mathrm dx $$ and $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x \sin(xt)}{1+x^2}\,\mathrm dx \ , t>0 $$
Solution
by using inverse fourier transform $$ \begin{align} e^{-|t|} &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1+x^2} e^{ixt} \, dx \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ixt}}{1+x^2} \, dx \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{ixt} + e^{-ixt}}{1+x^2} \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(xt)}{1+x^2} \, dx \end{align} $$
thus we can set t=0
$$ \begin{align} 1 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \end{align} $$
Claim: $$ \frac{d}{dt} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(xt)}{1+x^2} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{-x \sin(xt)}{1+x^2} \, dx , t \gt 0 $$ Proof: Dieser Beweis ist nicht ganz trivial. Gebt mir bescheid wenn ihr eine Idee habt. Eventuell gibt es die Möglichkeit die Fouriertransformierte der Ableitung zu verwenden und dann darauf die inverse Fouriertrafo anzuwenden. Habe aber noch ein Vorzeichenproblem, welches ich mir noch nicht erklären kann.
use the proof for \( t>0 \) $$ \begin{align} \ \frac{d}{dt} e^{-|t|} = \frac{d}{dt} \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(xt)}{1+x^2} \, dx \\ \Leftrightarrow e^{-t} = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{x \sin(xt)}{1+x^2} \, dx \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{x \sin(xt)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} e^{-t} \\ \end{align} $$
